करप. ५. वर्ग समीकरण, घन समीकरण आनी चतुर्घात समीकरण हांचीं बीजां करणीरुपांत (एक वा चड अपरिमेय संख्यांचे बेरजेच्या रूपांत) परगटावप जशें शक्य आशिल्लें, तशेंच पंचघात समीकरण सोडोवप आबेल हाच्या काळामेरेन शक्य जावंक नाशिल्लें. रूफफिनी आनी आबेल हांणी सादारण पंचघात समीकरणाचीं बीजां करणीरुपांत परगटावप शक्य ना, अशें सिध्द केलें.
६. गोल्डबाख हाचे विचार: ‘२ सोडून हेर दरेक सम संख्या दोन अविभाज्य संख्यांच्या बेरजेच्या रुपांत व्यक्त करूं येता’ असो तर्क गोल्डबाख हाणें ऑयलय हाका १७४२ त बरयल्ल्या एका पत्रांत परगटायल्लो. देखीक ४=२+२, ६=३+३, १६=१३+३, १००=९७+३. १९३१ मेरेन ह्या प्रमेयाची सिध्दता अशक्य दिसताली. पूण १९३१ त श्निरेलमान ह्या रशियन गणितज्ञान अशें सिध्द केलें की, खंयचोय धन पूर्णांक ३,००,००० वा कमी अविभाज्य संख्यांच्या बेरजेच्या रुपांत परगटावं येता. तेउपरांत व्ह्येनग्राडॉव्ह ह्या रशियन गणितज्ञान, हार्डी, लिट्लवुड आनी नामनेचो भारतीय गणितज्ञ रामानुजन् हांचे पध्दतींचो उपेग करून ही संख्या ४ चेर हाडली. पूण गोल्डबाख हाच्या तर्काची पुराय जाप अजून मेरेन मेळूंक ना.
७. जुंवळ्यो अविभाज्य संख्या: ज्या संख्यांतलो फरक २ आसा, अशा अविभाज्य संख्यांक जुंवळ्यो अविभाज्य संख्या अशें म्हण्टात. ‘जुंवळ्यो अविभाज्य संख्या असंख्य आसात’ हें प्रमेय लेगीत अजून निर्जाप आसा.
८. नकासो रंगोवप: धर्तरेवयले वेगवेगळे प्रदेश दाखोवपी नकासो रंगोवपाखातीर वट्ट कितले वेगवेगळे रंग लागतले? (शेजारच्या दोन प्रदेशांक तोच रंग येवंचो न्हय ही अट आसा) ह्या प्रस्नाची जाप अजून मेरेन मेळूंक ना.
९. फेर्मा हाचें निमाणें प्रमेय: क्षस +यस = झस हातूंत स ३ आसल्यार, ह्या समीकरणाच्यो जापो परिमेय संख्या वापरून काडप शक्य ना. ह्या प्रस्नाचीय पुराय जाप अजून मेरेन मेळूंक ना.
वयलो प्रस्न संख्या सिध्दांतांतलो (Number Theory) जावन आसा. संख्या सिध्दांतांत अशे जायते निर्जाप प्रस्न आसात. गणिताची जशीजशी उदरगत जाता, तशे प्रस्न सुटपावांगडाच आनीकूय निर्जाप प्रस्नांची वाड जायत आसा.
-कों. वि. सं. मं.
गणितीय उपकरणां: गणितीय प्रस्न सोडोवपाखातीर जीं उपकरणां वापरतात, तांकां ‘गणितीय उपकरणां’ अशें म्हण्टात. कोनमापक, पावत (पट्टी), कंपास हीं उपकरणां भौमितीक आकृत्यो काडपाखातीर वापरतात. ‘गोटी चौकट’ आनी ‘गणकपट्टी’ हीं उपकरणां मळावे संख्यात्मक प्रस्न सोडोवपाखातीर उपकारायतात. कोश्टकां तयार करपी, मुळावे संख्यात्मक प्रस्न टंकलिखित स्वरूपांत सोडोवन दिवपी कार्यालयीन आनी वेवसायिक कामांखातीर उपेगाक येवपी कितलींशींच साधनां प्रचलित आसात. विंगड विंगड तरांच्या संगणकांवरवीं गुंतागुंतीचे प्रस्न बेगोबेग सोडोवं येतात. विज्ञानाच्या वेगवेगळ्या शाखांतले आनी उद्येगधंद्यांतले जायते प्रस्न (देखीक- अवकाशांत सोडिल्ल्या रॉकेटचो मार्ग, तरेकवार आकारांच्या नळयांतल्या वेगवेगळ्या द्रवांचे प्रवाह) गणितीय भाशेंत मांडू येतात. ताका लागून हे प्रस्न बेगोबेग सोडोवपी आनी अर्थीक नदरेन परवडपी उपकरणां सोदपाक आनी तांचे उत्पादन करपाक व्हडली चालना मेळ्ळी. अशा उपकरणांत एकाद्रे पट्टेवयलें दोन खुणांतलें अंतर, तारांतलो विद्युत प्रवाह वा वर्चस् (विद्युत स्थिती), स्थितिस्थापक पटलाचेर पडपी ताण. असल्या मेजपाक येता अशा भौतिक राशींच्या रुपांनी गणितीय राशींचें निदर्शन करतात.
वेगवेगळे गणितीय प्रस्न सोडोवपाखातीर वापरांत येवपी कांय गणितीय उपकरणां अशीं: सांत (finite) समीकरणां सोडोवपाचीं उपकरणां, भरती पूर्वसूचक, हरात्मक संश्लेशक (Harmonic Synthesizer), बहुपदी निर्वाहक (Polynomial Solver), एकघाती बैजिक समीकरण निर्वाहक, क्षेत्रमापक, समाकलक (Integrator), समाकलालेखक (Integraph), हरात्मक विश्लेशक (Harmonic Analyzer), अवकल विश्लेशक (Differential Analyzer).
अमेरिकेच्या संयुक्त संस्थानांच्या ‘नॅशनल रिसर्च कमिटी’ वरवीं उजवाडाक येवपी ‘Mathematical Tables & Other aids to computation’ ह्या तिम्हयन्याळ्यांत विंगड विंगड नव्या आनी आर्विल्ल्या गणितीय उपकरणांची म्हायती दिल्ली आसता.
-कों. वि. सं. मं.
गणितीय कोश्टकां: गणित, सांख्यिकी, ज्योतिशशास्त्र, भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी आनी हेर अनुप्रयुक्त विज्ञानांतल्या संगणनाच्या कामाचो त्रास कमी जावंचो हे नदरेन कोश्टकरुपान मांडिल्ल्या मूल्यांच्या संचाक गणितीय कोश्टक अशें म्हण्टात. पावकी, निमकी, अडिजकी ह्या कोश्टकांचो वेगवेगळ्या संख्यांच्यो वेगवेगळ्यो पटी एकदम मेळोवपाखातीर उपेग जाता. सादारणपणान लॉगरिथम, त्रिकोणमितीय आनी हेर गणितीय फलनांचीं मूल्यां दिवपी कोश्टकां आनी अविभाज्य संख्या, संख्यांचे घात, गणितीय स्थिरांक, ह्या म्हत्वाच्या राशींच्या कोश्टकांक गणितीय कोश्टकां अशें म्हण्टात. विम्याविशींचीं कोश्टकां, ज्योतिशशास्त्रीय कोश्टकां, भौतिक राशींच्या मूल्यांची वळेरी ह्या प्रयोगसिध्द पध्दतीन तयार केल्ल्या कोश्टकाकूंय स्थूल अर्थान गणितीय कोश्टकां अशें म्हण्टात.
कोश्टक वापरुन संगणनांत प्रत्यक्ष कितलो वेळ वांचलो हाचेवेल्यान त्या कोश्टकाच्या खऱ्या उपयुक्ततेचें अनुमान काडूं येता. देखीक- धा दशांश स्थळांनेरेनचें वर्गमूळाचें कोश्टक, हें वर्गांच्या कोश्टकापरस चड उपयुक्त आसा. कारण एकाद्रे संख्येचो वर्ग काडपापरस वर्गमूळ काडपाक चड वेळ लागता. कोश्टकाचो वापर केल्ल्यान वेळ आनी कश्ट वांचतात पूण ताच्यावांगडाच अचूकतेचीय खात्री उरता.
इतिहास: इ.स.प. १७०० पयलीं बरयल्ल्या ऱ्हिंड पपायरसांत (बोरुपसून तयार केल्ल्या एके तरेच्या तक्त्यांत) एक हो अंश आशिल्ल्या अपूर्णांकांच्या संयोगाविशींचीं कांय संख्यात्मक मूल्यां दिल्लीं दिसून आयल्यांत. बॅबलोनियन लोकांनी तयार केल्लीं गुणाकार आनी भागाकारांचीं कोश्टकां, वर्ग आनी वर्गमूळ तशेंच व्यस्तांकांचीं कोश्टकां बरींच विस्तरीत आसून तीं इ.स.प. २०० च्या सुमाराक केल्यांत आसतलीं, असो अदमास आसा.
ग्रीक गणितज्ञ टॉलेमी हाच्या ‘अलमाजेस्ट’ ह्या ग्रंथांत दिसून येवपी वर्तुळाच्या जीवांचें कोश्टक हें प्रचलित अर्थान पयलें गणितीय कोश्टक, अशें म्हण्टात. हें कोश्टक इ.स. सुमार दुसऱ्या शतमानांतलें आसून तातूंत वर्तुळाच्या जीवांचीं अदर्या अंशाच्या अंतरान स दशांश स्थळांइतल्या आसन्नतेचीं मूल्यां दिल्यांत. षष्टिकमान (साठ मूलांक वापरिल्ली) पध्दत वापरिल्ल्या ह्या कोश्टकांत पयलीं नियंता मूल्यां, तेउपरांत कोश्टकीय नोंदी आनी निमाणें अंतरांचें कोश्टक दिलां. आर्यभटान (इ.स. पांचवें शतमान) पयल्या चतुर्थ भागांतल्या कोनांच्या ‘ज्या’ क्ष चें कोश्टक तयार केल्लें. आबुल वेफा (अबुलझानी, इ.स. ९४०-९८) ह्या अरबी गणितज्ञान स्पर्शक आनी कोस्पर्शक ह्या त्रिकोणमितीय फलनांचीं कोश्टकां तयार केल्लीं.
खऱ्या अर्थान आर्विल्ल्या गणितीय कोश्टकांची उदरगत पंदराव्या शतमानासावन सुरू जाली. गेओर्ख पूरबाख (१४२३-६१) ह्या ऑस्ट्रियन गणितज्ञाच्या मार्गदर्शनाखाल स्वभावीक त्रिकोणमितीय कोश्टकां तयार करपाचें काम सुरू जालें. ताचें स्वभावीक ‘ज्या’ फलनाचें कोश्टक १५४१ त उजवाडाक आयलें. निकोलेअस कोपर्निकस (१४५३-१५४३) ह्या नामनेच्या ज्योतिशशास्त्रज्ञान पांच दशांश स्थळांचें ‘ज्या’ फलनाचें कोश्टक तयार केलें. स्पर्शक फलनाचें पयलें कोश्टक एरॅस्मस राइनहोल्ट हाणें १५५३ त आनी छेदीक फलनाचें पयलें कोश्टक फ्रान्सिस्कस मॉरोलिकस (१४९४-१५७५) हाणें उजवाडायलें. तेउपरांत गेओर्ख योआखिम फोन लाऊखेन (रेटिकूस; १५१४-७६) हाणें तयार केल्लें १५ दशांश स्थळांचें ‘ज्या’ फलनाचें कोश्टक, व्हालेनटाइन ओथो (सुमार
