एकुणिसाव्या शतमानाच्या पयल्या अर्दांत गणिताच्या नेमाळ्यांचो प्रसार जावपाक लागलो. त्यानिमतान वेगवेगळ्या गणितीय समित्यांची थापणूक जाली. ह्याच काळांत आर्थर केली (१८२१-९५) आनी सिल्व्हेस्टर (१८१४-९७) हांचेसारके नामनेचे गणितज्ञ इंग्लंडांत जावन गेले. आर्थर केली हाणें बैजिक निश्चलितांची उपपत्ती सोदून काडली. आयरिश गणितज्ञ विल्यम हॅमिल्टन (१८०५-६५) आनी जर्मन गणितज्ञ हेरमान ग्रॉसमान (१८०९-७७) ह्या दोगांयनी प-मितीय भूमितीची उदरगत करप शक्य आसा, अशें मत १८४४ च्या सुमाराक मांडलें. पूण केली हाकाच ह्या भूमिती शाखेचो अध्वर्यू अशें मानतात. केली हाणें आर्विल्ल्या गणितांतली आव्यूह सिध्दांत (matrices) ही म्हत्वाची शाखा सोदून काडली. आव्यूह सिध्दांत आनी ‘निर्धारक’ (determinants) हांकां लागून बीजगणिताक परत म्हत्व आयलें.
गणितशास्त्राचें अंकगणितीकरण करपाचे नदरेन एकुणिसाव्या शतमानांत बरीच उदरगत जाली. बोलत्सानो (१७८१-१८४८) हाणें १८१६ त समीकरणाच्या मुळाच्या स्थान निश्चितीचें प्रमेय मांडून हाका सुरवात केली. पूण आर्विल्ल्या अंकगणिताची मूळ बुन्याद वायरश्ट्रास, डेडेकिंट (१८३१-१९६१) आनी कँटर (१८४५-१९१८) हांणी अपरिमेय संख्येची व्याख्या केली, तेन्ना घाली. हातूंतल्यानूच फुडें कँटर हाका सांतातीत संख्यांच्या अस्तित्वाचो म्हत्वाचो सोद लागलो. बैजिंक संख्या परिगणनीय आसात, अशें कँटर हाणें सिध्द केलें. गतिकी आनी प्रकाशकी हांच्यो उपपत्ती हॅमिल्टन आनी याकोबी (१८०४-५१) हाणें सोदून काडल्यो. मॅक्सवेल (१८३१-७९) हाणें शनीच्या कड्यांची थिरताय. ऊश्मागतिकी, विद्युत्गतिकी आदी विशयांनी केल्ल्या म्हत्वाच्या कार्यावयल्यान गणितीय विश्लेशण आनी गणितीय भौतिकी हातूंतले लागींचे संबंद आनीकूय स्पश्ट जातात. मॅक्सवेल, बोल्टस्मान (१८४४-१९०९) आनी गिब्ज (१७९०-१८६१) ह्या तिगांनीय सांख्यिकीय यामिकी ह्या विशयाची उदरगत केली. तांच्या वावराक लागून ‘मूळस्थितीविशींचीं प्रमेयां’ (इरगॉडिक थिअरम्सं) हो नवो विशय गणितशास्त्रांत तयार जालो. बरकॉफ (१८८४-१९४४) हाणें ह्या प्रमेयांची १९३२ त सिध्दत केली. एरिक फ्रेडहोम हाणें इ. स. १९०० त समाकल समीकरणांच्या सिध्दांताक लागींचो असो बैजिक सिध्दांत सोदून काडलो. हातुंतल्यानूच फुडें हिल्बर्ट (१८६२-१९४३) हाणें ‘आयगेन’ मूल्यांची उपपत्ती आनी ताका संबंदीत आशिल्ल्या अनंत मितीय अवकाशाची (Hilbert Space) उपपत्ती ह्यो आर्विल्ल्या गणितांतल्यो म्हत्वाच्यो संकल्पना १९०८ त मांडल्यो. कार्ल कूलमान नांवाच्या झुरिक हांगाच्या गणितज्ञान १८७५ त ‘आलेखिकी’ (Graphics) ह्या विशयावयलो अभिजात स्वरुपाचो ग्रंथ बरयलो. ताका लागून अभियंत्यांक वण्टी, पूल, बोगदे बांदता आसतना उप्रासपी प्रश्न आलेखीय पध्दतीन सोपेपणान सोडोवप शक्य जालें.
गणिताची तात्विक बुन्याद: गणिताच्या तात्त्विक बुन्यादीविशींच्या विवेचनांत गणितांतल्यो मुळाव्यो संकल्पना आनी तांचे विशींचीं प्रचलित गृहीततत्त्वां आनी स्वयंसिध्दकां हांची तात्त्वि चर्चा आनी विस्कटावणी हांचो आस्पाव जाता. गणिताचें तात्त्विक स्वरुप कितें, गणित ही तर्कशास्त्राची शाखा काय ना, गणितीय अनंत आनी संततत्त्व हांचें यथार्थ स्वरुप कितें, गणितीय अस्तित्व म्हळ्यार कितें, गणितीय सत्य कित्याक म्हणचें असल्या आनी हेर गणितांतल्या विंगड विंगड प्रश्नांच्यो जापो तीन मुखेल विचारसंप्रदायांनी वेगवेगळे तरेन दिल्यात. हे संप्रदाय म्हळ्यार: १. तर्कशास्त्रमीमांसा २. आकारवाद ३. अंताप्रज्ञावाद.
तर्कशास्त्रमीमांसा: तर्ककठोर तत्त्वांचेर गणिताची बुन्याद मांडपाचो मोलादीक वावर बर्ट्रंड रसेल (१८७२-१९७१) आनी व्हाइटहेड (१८६१-१९४७) हांणी ‘प्रिन्सिपिया मॅथॅमॅटिका’ ह्या आपल्या ग्रंथावरवीं केलें. हे विचारसरणींतलो मुखेल सिध्दांत असो की, ‘अनुगामी’ सारक्यो कांय मुळाव्यो कल्पना आनी तांच्या उपेगाखातीर कांय गृहीतत्त्वां हांचोच उपेग करून पुराय गणिताची तर्कशास्त्रीय मांडावळ करूं येता. हे विचारधारेची सुरवात लायब्निट्स हाणें केली, अशें म्हण्टात. तेउपरांत डे मॉर्गन, बूल, श्रोडर आनी पर्स हांणी तेखातीर फाव त्या तंत्रांची उदरगत करून चिन्हांकित तर्कशास्त्राची निर्मिती केली. तेउपरांत गणिताच्या अंकगणितीकरणाचें म्हळ्यार सबंद गणितशास्त्र पुराय संख्यांच्या गुणधर्मांचेर आदारिल्लें आसा, हें सिध्द करपाचे यत्न वायरश्ट्रास आनी डेडेकिंट हांणी केले. निमाणें, पुराय अंकगणित फकत तर्कशास्त्राचेर आदारिल्लें आसा हें दाखोवपाचें कार्य फ्रेग, पेआनो, व्हाइटहेड आनी रसेल हांणी तडीक व्हेलें. आकारवाद: आकारवादी आनी तर्कशास्त्रवादी हांच्यांत म्हत्वाचो फरक म्हळ्यार आकारवादी गणितांत ‘आशया’ परस, ‘रचणुके’क चड म्हत्व दितात. हातूंत गणित चिन्हां खासा अर्थवाचक मानीनासतना फकत कागदावयल्यो सांकेतिक कुरू म्हूण मानतात. चिन्हांचो वापर कसो करचो करचो आनी गृहीततत्त्वांसावन वैध प्रमेयां कशीं निर्माण जातात, हांचे नेम गृहीततत्त्वांतूच आस्पावतात. हे गणितशास्त्रपध्दतींत संरचनादर्शक म्हूण सिध्दांतांक अर्थ आसता. संकेतचिन्हांचो अर्थ भाशा पध्दतीन खासा विशयांतल्यान परिभाशेंत अर्थ लायतकरूच प्रमेयांक विवक्षित अर्थ प्राप्त जाता. हे विचारसरणीचो अध्वर्यू डाव्हीट हिल्बर्ट हाणें यूक्लिडीय भूमितीक गृहीत नियमबध्द स्वरुप दिलां. हिल्बर्ट हाच्या ‘सिध्दांत तत्त्व उपपत्ती’ उपरांत कुर्ट गोडेल हाणें १९३१ त सोदून काडिल्लें ‘अपूर्णता प्रमेय’ हाका लागून आकारवादाक आनीकूय घटसाण मेळ्ळी.
अंताप्रज्ञावाद: ‘गणित म्हळ्यार अर्थ नाशिल्ल्या चिन्हांचो उपेग करून खेळपाचो एक अर्थ नाशिल्लो खेळ’ अशें आकारवाद्यांचें म्हणणें आशिल्लें. पूण अंताप्रज्ञावाद्यांच्या मताप्रमाण गणित हो अर्थहीन खेळ नासून सैमाचें गुपीत सोदून काडप, होच गणिताचो मुखेल हेत जावन आसा. अंताप्रज्ञावादी गणितीय सत्यां वस्तुनिश्ठ आनी चिरंतन आसात, अशें मानीनात. तांच्या मतान गणितीय सत्यां मानवी मनाची स्वैर निर्मिती आसून मनशान निर्मिल्ल्या हेर सत्यांसारकींच विकारशील आसात. ह्या संप्रदायाचे आद्यप्रवर्तक ब्रौवर (१९१२) हाच्या म्हणण्याप्रमाण गणित विचाराचें उत्पत्तिस्थान कांय मुळाव्या अंताप्रेरणांत आसून ताका लागुनूच आपल्यो इंद्रिय संवेदना ‘सुरवातीक’ आनी ‘उपरांत’ अशा दोन वर्गांनी वांटल्यात. ‘कालतत्त्व’ ही शुध्द, अणभवनिरपेक्ष अंताप्रेरणा आसा, अशें ब्रौवर कांटाप्रमाणूच मानतात. अंताप्रज्ञावाद्यांच्या मुखेल सिध्दांताप्रमाण वैश्लेशिक गणित आनी संच-प्रक्रिया गणित तशेंच शुध्द गणिताचो चडसो भाग त्याज्य थारता. ह्या संप्रदायाच्या गणितज्ञांनी अंताप्रज्ञावादी धर्तेचेर गणिताच्या कांय भागांची पुनर्रचणूक करून दाखयल्या. पूण तातूंत तांकां आयजमेरेन फाव तें यश मेळूंक ना.
ह्या तीनूय विचारसरणींच्या विचारमंथनांतल्यान आर्विल्लें गणित तत्त्वगिन्यान निर्माण जालें. गणिताच्या तात्त्विक बुन्यादीविशींचो वाद निर्णयामेरेन येवपाची शक्यताय खूब उणी आसा. पूण गणिताची उदरगत ह्या वादाच्या प्रश्नाचेर आदारून नाशिल्ल्यान फुडेंफुडें वचत आसा.
-कों. वि. सं. मं.
गणितांतले निर्जाप प्रश्न: खूब पूर्विल्ल्या काळासावन आयज मेरेन गणितशास्त्रांत अशे कितलेशेच प्रश्न उरल्यात, जांच्यो जापो वा जांचे शक्यतायेविशींची सिध्दताय अजून मेरेन कोणेच दाखोवंक ना. अठराव्या शेंकड्यामेरेन निर्जाप उरिल्ले कांय म्हत्वाचे प्रश्न अशे-कंपास आनी सरळ पट्टी हीं दोनूच उपकरणां घेवन फुडल्यो तीन रचना करप: १. घनाची दुप्पट करप म्हळ्यार दिल्ल्या घनाच्या दुप्पट घनफळ आसतलें अशा घनाची वट रचप. २. कोनाचें त्रिभाजन करप. ३. वर्तुळाचें चौरसीकरण करप. कितलींशींच वर्सां निर्जाप उरिल्ल्यो ह्यो रचना इटालियन गणितज्ञ रूफफीनी (१७६५-१८२२), नॉर्वेजियन गणितज्ञ आबेल (१८०२-२९) आनी फ्रेंच गणितज्ञ गाल्वा (१८११-३२) हांणी बीजगणितांत केल्ल्या संशोधनाउपरांत अशक्य आशिल्ल्याचें सिध्द केलें.
वयल्या तीन निर्जाप प्रस्नांखेरीज गणितांत आनीकूय कांय म्हत्वाचे निर्जाप प्रस्न आसात, ते अशे: ४. वतुळांत सुसम सप्तभुज अंतर्लिखित
